Originario de Zinapécuaro, Michoacán, Ávila Guevara realizó sus estudios musicales en la antigua Escuela Superior de Música, hoy en día Conservatorio de las Rosas en Morelia. A su llegada a Morelos, en la ciudad de Jojutla, funge como organista y director de la Schola Cantorum de la Parroquia local y más tarde funda el coro del Seminario de Cuernavaca y el de las Reverendas Madres Misioneras Clarisas.

Además dirigió la Escuela de Música Diocesana, así como diversos coros como el de Amatitlán, Niños Cantores de Cuernavaca y otros. Es compositor de obras polifónicas, piezas para piano y órgano, canciones, himnos, y arreglos instrumentales y corales, como la Cantata a los Niños Héroes estrenada en 1959 en el Auditorio Nacional.

Dentro de su trayectoria se cuenta la fundación del grupo coral del Instituto Mexicano del Seguro Social y otro más en 1961, en ocasión del aniversario del Sitio de Cuautla. En 1974 por invitación del Instituto Schiffi fue enviado a Europa para presentar un programa de música coral mexicana ante los padres Javerianos en Roma.

Fulgencio Ávila se desempeñó hasta el año 2000 como profesor de canto en el Centro Cultural Universitario de la Universidad Autónoma del Estado de Morelos (UAEM), cuyo auditorio lleva su nombre desde 2001 como reconocimiento a su legado.